Для доступа к MySQL из-вне должно быть выполнено 2 условия:

1. MySQL должен слушать все адреса, а не только 127.0.0.1
2. У пользователя должны быть пермишены для коннекта не только с localhost (с самого сервера где установлена БД), а и других адресов.

Слушать все адреса

Во-первых, изначально mysql слушает только localhost. Нужно исправить это в конфигурационном файле my.cnf (обычно в линуксах путь /etc/mysql/my.cnf). В my.cnf находим строку:

bind-address = 127.0.0.1

И заменяем её на:

bind-address = 0.0.0.0

Теперь после service mysql restart мы можем коннектиться к mysql с любого ip (если создан пользователь). При этом для супер-пользователя root доступ из-вне под пустым паролем остаётся закрыт.

bind-address 127.0.0.1 означает, что mysql слушает соединения только с текущего хоста.

Создание пользователя для коннекта к базе данных из-вне

Во-вторых, нужно создать пользователя, под которым мы будем подключаться из-вне к mysql. У пользователя должны быть пермишены для подключения не только по localhost, но и иных адресов.

CREATE USER 'username'@'%' IDENTIFIED BY 'password'; #создаём пользователя username с паролем password
GRANT ALL PRIVILEGES ON database.* TO 'username'@'%'; #даём пользователю username все права для работы с базой данных database
FLUSH PRIVILEGES; # применяем новые права (чтобы не делать restart)

В команде CREATE USER мы создали пользователя, который может коннектиться к mysql со всех ip. Мы можем разрешать коннектиться только с определённых ip, например:

#создаём пользователя user с паролем pass, который может подключаться только с ip '10.10.50.50
CREATE USER 'user'@'10.10.50.50' IDENTIFIED BY 'pass';

Если разрешаете внешние подключения к базе данных, то нужно давать сложные пароли пользователям mysql.

В случае проблем с внешними подключениями, проверить не блокирует ли брандмауэр или фаервол MySQL-порт 3306 или другой, если используете не стандартный порт.

Узнать порт mysql:

mysql> show variables like 'port';
+---------------+-------+
| Variable_name | Value |
+---------------+-------+
| port          | 3306  |
+---------------+-------+
1 row in set (0,05 sec)

После изменения bind-address в MySQL и создания пользователя с пермишенами (либо грант пермишенов текущим пользователям), к базе данных можно подключиться передавая параметр -h <host>. Хост — адрес машины, на которой установлен MySQL:

mysql -u -root -p -h <ip адрес>